Um sicher zu gehen, dass es sich wirklich um eine Extremstelle handelt, muss man die hinreichende Bedingung betrachten. Der Online Rechner von Simplexy kann dir bei der Berechnung von Hochpunkten und Tiefpunkten helfen. Mit dem Rechner kannst du dir den Graphen einer Funktion zeichnen lassen, die Funktion ableiten und viel mehr. In diesem Abschnitt sehen wir uns typische Fragen mit Antworten zum Finden von Extrempunkten mit dem Vorzeichenwechselkriterium an.
In der Mathematik unterscheidet man zwischen Hochpunkten und Tiefpunkten, welche man beide als Extrempunkte bezeichnet. In der nächsten Grafik seht ihr zwei Stellen mit einem Maximum (Hochpunkt) und zwei Stellen mit einem Minimum (Tiefpunkt). Jetzt kannst du dir noch kurz anschauen, wie du Extremstellen berechnen kannst. Du siehst an dem Beispiel, dass beim höchsten Punkt deine Extremstelle ist. Aber es gibt auch noch andere Typen von Extremstellen.
Hochpunkt und Tiefpunkt einfach erklärt
Wem die folgenden Artikel noch gar nichts sagen, der möge sie bitte nachlesen. Alle anderen können gleich mit den Extremwerten starten. Wie genau kann ich mit Hilfe der ersten und zweiten Ableitung einen Hochpunkt berechnen oder den Tiefpunkt einer Funktion bestimmen? Das beantworten wir dir in diesem Abschnitt in Form einer Schritt-für-Schritt Anleitung.
In diesem Abschnitt kannst du nochmal in zwei Aufgaben den Tiefpunkt und Hochpunkt berechnen.
Warum man dies überhaupt macht und wie es funktioniert, lernt ihr in diesem Artikel der Mathematik. Ein Hochpunkt muss nicht zwangsläufig derjenige Punkt sein, der am höchsten liegt. Ein Hochpunkt ist in dem Sinne „hoch“, dass er im Vergleich zu einer kleinen Umgebung um den Hochpunkt höher als alle anderen Punkte in dieser Umgebung liegt. Ist ein solcher Hochpunkt gleichzeitig der höchste Punkt, dann findest du dafür auch die Bezeichnung globaler Hochpunkt oder globales Maximum. Ist das nicht der Fall, so hörst du stattdessen die Bezeichnung lokaler Hochpunkt oder lokales Maximum. Der Zusatz „lokal“ soll dich daran erinnern, dass dieser Hochpunkt nur in einer bestimmten Umgebung „hoch“ ist.
Das gleiche gilt entsprechend für einen lokalen Tiefpunkt. In diesem Zusammenhang spricht man oft vom Monotonieverhalten einer Funktion. Umgekehrt erhält man einen Tiefpunkt, wenn die Steigung erst monoton fallend ist und anschließend monoton wachsend.
Fragen mit Antworten Vorzeichenwechselkriterium
Tiefpunkt ist ein Punkt auf einer Funktion, in dessen Umgebung kein weiterer Punkt “höher” bzw. Wichtig ist hier, dass diese Bedingung lediglich in einer bestimmten Umgebung erfüllt ist. In dem oberen Bild ist ein lokaler Hochpunkt (Grün) eingezeichnet. In der Umgebung um den Hochpunkt findet sich kein weiterer Punkt der höher liegt. Man sieht aber leicht, das dieser lokale Hochpunkt nicht der “höchste Punkt” der Funktion ist.
Für einen Tiefpunkt findest du die Bezeichnungen globaler Tiefpunkt (globales Minimum) und lokaler Tiefpunkt (lokales Minimum). In diesem Kapitel haben wir zwei Verfahren kennengelernt, um die Extremwerte einer Funktion zu berechnen. Es stellt sich die Frage, wann man welches Verfahren am besten einsetzt. Ein globaler Extrempunkt ist auch immer ein lokaler Extrempunkt.
- In der nächsten Grafik seht ihr zwei Stellen mit einem Maximum (Hochpunkt) und zwei Stellen mit einem Minimum (Tiefpunkt).
- Nicht nur im echten Leben gibt es Hochpunkten und Tiefpunkten, sondern auch in der Mathematik.
- Wir werden uns dabei auf den Fall eines Hochpunkts beschränken.
- Extremwerte, so genannte Hochpunkte und Tiefpunkte werden bei der Auswertung von Funktionen eingesetzt.
- Erfüllt deine Extremstelle beide Bedingungen, hast du nur einen lokalen Hochpunkt.
Wieso nennst du sie dann trotzdem Hoch- oder Tiefpunkte? Wir werden uns dabei auf den Fall eines Hochpunkts beschränken. Für einen Tiefpunkt gilt die gleiche Argumentation, wobei du Begriffe wie „am höchsten“ oder „hoch“ durch „am niedrigsten“ oder „tief“ ersetzen musst. Wenn du in einer Aufgabenstellung neben der Berechnung der Extremwerte auch nach dem Krümmungsverhalten oder nach Wendepunkten gefragt wirst, so verwende dieses Verfahren. Ableitung ohnehin berechnen musst, kannst du diese auch direkt einsetzen, um die Extremwerte zu berechnen. In diesem Kapitel lernst du, wie man die Extremwerte einer Funktion berechnet.
Dort verändert der Graph sein Monotonieverhalten
nicht. Damit ist er dann weder der höchste noch der niedrigste Punkt im Graphen. Zum Beispiel steigt hier dein Graph bis er kurz stagniert und wieder weiter steigt. Extremwerte, so genannte Hochpunkte und Tiefpunkte werden bei der Auswertung von Funktionen eingesetzt.
Im folgenden Bild siehst du die Hochpunkte und sowie die Tiefpunkte und einer Funktion mit eingezeichneten waagerechten Tangenten (grün gestrichelt). Zusätzlich wurde in eine Umgebung um den Hochpunkt gezoomt, um die Bezeichnung „hoch“ zu illustrieren. Einen Unterschied gibt es zwischen den beiden Hochpunkten (Maxima) und Tiefpunkten (Minima) dennoch. Die beiden Hochpunkte und Tiefpunkte sind verschieden hoch oder tief. Der allertiefste Punkt (Minimum) ist der absolute Tiefpunkt und die anderen sind relative Tiefpunkte. Ein Funktionsgraph hat im Punkt (x0|f(x0)) einen lokalen oder globalen Hochpunkt, wenn x0 ein Maximum (siehe Extremstellen und Extrempunkte) der betreffenden Funktion ist.
Mit 2. Ableitung
Ableitung sind die $x$-Koordinaten der Extrempunkte. Wir sehen uns im nächsten Abschnitt das Vorzeichenwechselkriterium an. Ableitung berechnen möchte wirft einen Blick in Hochpunkt und Tiefpunkt berechnen. Es kann passieren, dass deine Ableitung an einer Stelle Null ist, es sich aber um keine Extremstelle handelt!
- Zusätzlich wurde in eine Umgebung um den Hochpunkt gezoomt, um die Bezeichnung „hoch“ zu illustrieren.
- Wer dieses Verfahren lernen möchte schaut in den Link von eben rein.
- Geometrisch bedeutet eine Ableitung von Null, dass die Steigung des Funktionsgraphen an dieser Stelle gleich Null ist.
- Ein Hochpunkt ist in dem Sinne „hoch“, dass er im Vergleich zu einer kleinen Umgebung um den Hochpunkt höher als alle anderen Punkte in dieser Umgebung liegt.
- Tiefpunkt ist ein Punkt auf einer Funktion, in dessen Umgebung kein weiterer Punkt “höher” bzw.
Wie der Name schon sagt, ist das hier also vermutlich der höchste Punkt deines Graphen. Erfüllt deine Extremstelle beide Bedingungen, hast du nur einen lokalen Hochpunkt. Das ist dann der höchste Punkt in der näheren Umgebung. Das bedeutet, dass alle Punkte, die nah an dem lokalen Hochpunkt liegen, alle tiefer liegen. Ist dieser Punkt tatsächlich der allerhöchste Punkt deines Graphen, bezeichnest du ihn als absoluten Hochpunkt.
Hochpunkt
In diesem Abschnitt sehen wir uns typische Fragen mit Antworten zu Hoch- und Tiefpunkten an. Sehen wir uns einmal an wie man Hochpunkt und Tiefpunkt berechnet. Nicht nur im echten Leben gibt es Hochpunkten und Tiefpunkten, sondern auch in der Mathematik. In der nächsten Grafik seht ihr zwei Stellen mit einem Maximum und zwei Stellen mit einem Minimum. Um das Vorzeichen eines Intervalls zu berechnen, setzen wir eine beliebige Zahl des Intervalls in die erste Ableitung ein.
An den lokalen Minima und Maxima ist die Steigung stets Null. Diese Eigenschaft macht man sich bei der Extremwert-Berechnung zu nutze. Nun weißt du, wie du einen Tiefpunkt und Hochpunkt berechnen kannst. Aber vielleicht fragst du dich, wieso die erste Ableitung gleich Null gesetzt wird. Und wieso gibt es Hochpunkte, die aber niedriger als andere Punkte liegen?
Graphisch betrachtet handelt es sich dabei um Hochpunkte bzw. Damit weis man nur, das eine Extremstelle vorhanden ist, man weis nicht ob es sich um einen Hochpunkt oder einen Tiefpunkt handelt. Dazu muss man die potentiellen Extremstelle in die zweite Ableitung einsetzen. Einen wichtigen Unterschied gibt es zwischen den beiden Hochpunkten (Max) und Tiefpunkten (Min) dennoch. Die beiden Maxima und Minima sind verschieden hoch oder tief. Der allertiefste Extrempunkt (Minimum) ist der absolute Tiefpunkt und die anderen sind relative Tiefpunkte (relative Minima).
Eine weitere Möglichkeit, die Extremwerte einer Funktion zu berechnen, basiert auf der Untersuchung des Monotonieverhaltens. Dabei fragen wir uns, an welchen Stellen die 1. Bis jetzt haben wir zwei Arten von Extrempunkten kennen gelernt.
Extremwerte: Hochpunkt + Tiefpunkt
Da du die momentane Steigung mit der ersten Ableitung berechnest, ergibt sich der Zusammenhang. Im nun folgenden gehen wir auf die Begriffe Extremwert, Hochpunkt und Tiefpunkt ein. Damit ihr diesen Artikel jedoch verstehen könnt, solltet ihr einige Vorkenntnisse mitbringen.
Zum einen gibt es Hochpunkte und zum anderen Tiefpunkte. Diese zwei werden jedoch nochmals in globale und lokale Extrema unterschieden. Ist die erste Ableitung einer Funktion an der Stelle \(x_E\) gleich Null, dann befindet sich dort ein potentieller Hochpunkt oder Tiefpunkt.
Wenn du eine Tangente
an den Graphen legst, entspricht das genau der Steigung. Bei der Extremstelle H steigt der Ball weder, noch fällt er. Deshalb hat die Tangente eine Steigung von 0!
Wer dieses Verfahren lernen möchte schaut in den Link von eben rein. Im nächsten Abschnitt verwenden wie die zweite Ableitung um Hochpunkt oder Tiefpunkt einer Funktion zu bestimmen. Ableitung im Verlauf einer Aufgabe nicht (!) brauchst, so spar es dir, diese zu berechnen und verwende eine Monotonietabelle zur Berechnung der Extremwerte. Bei gebrochenrationalen Funktionen kann es oftmals sehr schreibaufwendig sein, die 2.
Möchtest du hier die Extremstellen bestimmen, leitest du zuerst f ab und setzt die Ableitung gleich Null. Geometrisch bedeutet eine Ableitung von Null, dass die Steigung des Funktionsgraphen an dieser Stelle gleich Null ist. Du kannst also an die Hochpunkte und Tiefpunkte waagerechte Tangenten einzeichnen. In diesem Beitrag kannst du dir alles wichtige zum Thema Hochpunkt und Tiefpunkt von Funktionen anschauen. Du lernst eine Schritt-für-Schritt Anleitung, mit welcher du Hochpunkte und Tiefpunkte berechnen kannst.
